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3. POTENZE e LOGARITMI

 

 

I multipli e i sottomultipli sono molto utili allorché si tratti di definire le dimensioni di certe grandezze fondamentali, ma quando si debbano effettuare dei calcoli matematici è il momento di passare ai numeri veri e propri. In questo caso si ha a che fare spesso con numeri molto grandi o estremamente piccoli e le operazioni matematiche possono essere allora complicate, tediose o tali da ingenerare confusione e, pertanto, dare luogo a perdite di tempo. C'è però un metodo matematico che consente di semplificare le operazioni, sia dal punto di vista manuale che da quello esplicativo, usando cioè le potenze o i logaritmi che da queste derivano.

3.1. POTENZE

 

ab : a = base, b = esponente

 

Esempi

 

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16            101 = 1         102 = 100                2 x 103 = 2000

 

0.1 = 1/10 = 10–1           0.01 = 1/100 = 10–2          0.000001 = 1/1000000 = 10–6         

 

0.002 = 2/1000 = 2 x 10–3          0.071842 = 7.1842 x 10–2   

 

 

OPERAZIONI CON LE POTENZE

 

 

3.1.1. Moltiplicazione di potenze

 

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza di questa base che ha per esponente la somma degli esponenti:

 

102 x 103 = 105   infatti : 100 x 1000 = 100000 = 10(2 + 3) =  105

 

 

3.1.2. Divisione di potenze

 

Analogamente alla moltiplicazione, il risultato di una divisione è una potenza con la stessa base che ha per esponente la differenza degli esponenti:

Possiamo allora dire che:

 

la moltiplicazione e la divisione di potenze riguardano la

somma algebrica degli esponenti

 

Talvolta non si ha a portata di mano una macchinetta calcolatrice per poter fare calcoli con numeri molto grandi o molto piccoli e in questi casi può essere lungo e noioso operare a mano o addirittura a mente. Un sistema per semplificare queste operazioni consiste nel trasformare i numeri in potenze a base 10 ed usare le operazioni che abbiamo appena visto, ad esempio:

 

 

3.1.3. Potenza e radice di potenze

 

La potenza di una potenza ha come risultato un'altra potenza con la stessa base e con il prodotto degli esponenti.

 

 

Poiché una radice non è altro che una potenza frazionaria, l'esponente della potenza risultante è il rapporto degli esponenti.

Come si può notare, in pratica le operazioni matematiche con le potenze si riducono a due. Infatti poiché gli esponenti possono essere sia numeri positivi che negativi, la moltiplicazione e la divisione sono analoghe, come analoghe sono la potenza e la radice, in quanto un esponente può essere anche frazionario.

 

Una potenza con esponente zero è sempre uguale a uno qualunque sia la base. Per dimostrarlo applichiamo le operazioni con le potenze appena viste.

 

Esempio: 100 = 1. Da quanto visto sulla divisione di due potenze si ha:

 

 

Ricordiamo però che la somma e la sottrazione di due potenze con uguale base non si può effettuare sommando gli esponenti ma bisogna trasformare le potenze in modo che gli esponenti risultino uguali fra loro e poi sommare le basi.

 

 

Esempi:

(a)  104 + 102

(b)  10-7 – 10-5

 

Risoluzione:

a) SBAGLIATA:

CORRETTA:

b) SBAGLIATA:

CORRETTA:

 


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