Carte di controllo

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  1. Introduzione
  2. Carte di controllo
  3. Esempio

Introduzione

Il controllo statistico ha per scopo quello di indicare in modo oggettivo la presenza di fonti sistematiche di variazione. In particolare, il controllo statistico di processo mira a verificare se i valori medi assunti da una variabile si discostano in modo significativo dal valore obiettivo e se tali valori si disperdono in modo anomalo.

Il controllo statistico si applica ad ogni tipo di processo, intendendo per processo qualsiasi insieme di attività e risorse correlate tra loro che trasformano un input in output. Esempi di risorse correlate sono il personale, gli strumenti, i metodi, gli ambienti di lavoro, ecc.

Nei sistemi di gestione si adoperano quindi una serie di strumenti che hanno il compito di stabilire se un processo è in uno stato di controllo statistico, ovvero se le variazioni che si osservano durante il campionamento di una variabile del processo può essere attribuita a un sistema di cause casuali stabili nel tempo. Quando ciò accade, allora il processo è detto in controllo, o stabile.

Vale la pena di sottolineare che un processo sebbene in controllo è comunque sempre soggetto ad una certa variabilità. La differenza tra processo in controllo e fuori controllo non sta quindi nella presenza o assenza di variabilità. La differenza risiede invece nel tipo di fonte di variabilità che affligge il processo. Un processo sotto controllo è soggetto unicamente a fonti di variabilità casuali e stabili nel tempo. Invece, un processo fuori controllo è soggetto anche a fonti di variabilità sistematiche che possono affliggere il sistema per brevi periodi.

Le cause casuali sono quei fattori sperimentali, generalmente tanti e di poca importanza, i cui contributi alla varabilità finale del processo non sono distinguibili gli uni dagli altri (oppure anche se distinguibili, in pratica, il loro studio risulta antioeconomico).

Le cause sistematiche, invece, sono quei fattori sperimentali che possono essere identificati e il cui contributo alla variabilità del processo può essere quantificato.

Un modo per dare evidenza oggettiva che il processo è sotto controllo consiste nell'utilizzo delle carte di controllo. Tale strumento sarà l'oggetto dei paragrafi seguenti.

Carte di controllo

Le carte di controllo sono costruite misurando una variabile ad intervalli di tempo regolari e inserendo in un grafico le misure registrate, come nella figura seguente:

Le tre linee blu rappresentano la linea superiore di controllo, la linea inferiore di controllo e la linea centrale di riferimento. Da come i valori medi si disperdono nel tempo è possibile stabilire con una certa confidenza se il processo è sotto controllo statistico.

Limiti di controllo

In genere, una carta di controllo è composta da:

Il limite centrale è la media di tutti i valori registrati:

I limiti di controllo, o di azione, sono calcolati come:

μ ± 3 σ/√n

dove con μ si indica la media della popolazione o quella di riferimento, σ è la deviazione standard della popolazione ed n è il numero di osservazioni con cui σ è stata calcolata.

I limiti di attenzione sono calcolati come:

μ ± 2 σ/√n

La carta delle medie

La carta delle medie visualizza l'andamento medio di una variabile nel tempo. Se la variabile è in controllo statistico, l'andamento dei suoi valori oscillerà intorno al valore centrale ed entro i limiti di controllo.

I dati raccolti sono inseriti in una tabella formata da tante righe quante sono le frequenze di campionamento, e da tante colonne quante sono le repliche. Ogni riga definisce un sottogruppo, la cui dimensione è data dal numero delle colonne (repliche):

Per calcolare i limiti di controllo della carta delle medie occorre determinare la media di riferimento e la deviazione standard. La media di riferimento è generalmente la media di tutte le misure che si hanno a disposizione.
Invece, per il calcolo della deviazione standard si può scegliere tra il metodo esatto basato sulla somma degli scarti al quadrato, oppure il metodo approssimato, basato sul range. Per ragioni storiche, il range è ancora oggi molto utilizzato.

Il range è definito come lo scarto massimo dei dati a disposizione, ovvero:

R = Max(X) - Min(X)

Ad esempio, ecco i calcoli del range per la precedente tabella:

Il collegamento tra il range e la deviazione standard è fornito dalla seguente relazione:

σ = R/d2

in cui d2 è una costante che varia in funzione della dimensione del sottogruppo. Vedi tabella. Con i dati precedenti, per n=3 e d2=1.693, si ottengono le seguenti stime della deviazione standard:

Come si osserva, la stima di σxm con il metodo del range (σxm = 0.57) approssima in eccesso quella ottenuta con la formula esatta (σxm = 0.51). È quindi un metodo robusto.

Adesso, occorre soltanto calcolare i limiti di controllo. Le formule necessarie sono riportate di seguito:

in cui i valori delle costanti d2 e A2 sono riportati qui in funzione della dimensione del sottogruppo.

Per esempio, con i dati riportati in precedenza, per n=3 e A2=1.023, i limiti valgono:

Con il calcolo dei limiti di controllo è possibile iniziare a disegnare la carta di controllo:

L'intervallo designato dai limiti di controllo vale 3.5. Questo intervallo corrisponde a 6 volte σxm. Pertanto, la deviazione standard campionaria o dei valori medi è calcolabile a partire dai limiti di controllo semplicemente dividendo l'intervallo per 6:

Per finire, occorre inserire i valori sperimentali nella carta e osservarne le caratteristiche. Ecco un ulteriore esempio di carta di controllo delle medie ottenuto con un numero maggiore di campioni:

Analisi della carta delle medie

La carta delle medie precedente consente di stabilire se la variabile osservata è soggetta unicamente a fonti di variazione causali oppure se è influenzata anche da cause sistematiche di variazione. Per una discussione sugli effetti sistematici e causuali clicca qui.

Dalla figura, non si notano punti che escono dalle linee di controllo. In prima istanza, è quindi possibile assumere che il sistema è soggetto unicamente a fonti casuali di variazione, ed è quindi sotto controllo statistico.

Vediamo ora di analizzare meglio la natura dei dati. Per farlo aggiungiamo oltre alle linee di controllo anche le linee di attenzione, che, come detto in precedenza, si calcolano con le formule seguenti:

UCL = μ + 2 σ/√n = μ + 2R/d2√n
LCL = μ - 2 σ/√n = μ - 2R/d2√n

Inoltre, aggiungiamo anche le linee 1sigma, ovvero quelle che distano a ±1σxm dalla linea centrale:

UCL = μ + σ/√n = μ + R/d2√n
LCL = μ - σ/√n = μ - R/d2√n

Il risultato di una carta di controllo con incuse tutte le linee ±1σxm, ±2σxm e ±3σxm è rappresentato nella figura seguente.

Il file di esempio in excel è scarcabile da qui

Da questa figura si nota come la maggior parte dei valori sta entro l'intervallo ±1σxm. Un 30% circa sta nella zona di attenzione, mentre pochi valori cadono entro la zona di controllo. Infine, nessun valore cade fuori dai limiti di controllo.

Possiamo concludere che la variabile risponde a tutte le caratteristiche di una variabile casusuale distribuita normalemente. È quindi lecito affermare che i dati a nostra disposizione non hanno permesso di evidenziare nessun effetto sistematico significativo.

Carta dei Range

Oltre che alla carta delle medie, un altro utile strumento per determinare se una variabile è sotto controllo statistico consiste nela carta di controllo dei ranges.

La carta dei range ha per scopo quello di evidenziare anomalie nell'andamento della dispersione dei dati. Mentre la carta delle medie osserva il discostamento dei valori medi dalla linea centrale, la carta dei range osserva l'andamento della variabilità dei dati. In altri termini, la carta dei range tiene sotto controllo la deviazione standard campionaria nel tempo.

I limiti di controllo della carta dei range sono calcolati attraverso le formule seguenti:

UCL = Rm + 3d3Rm/d2 = D4Rm
UCL = Rm - 3d3Rm/d2 = D3Rm

I valori di D3 e D4 sono tabulati qui

Un esempio di carta di controllo dei range è presentata di seguito:

Appendice 1