Nuovo corso di 9 crediti ovvero 5 crediti (= 45 ore di) lezione e 4 crediti (= 44 ore di) esercitazioni.
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Prerequisiti e Obiettivi
Prerequisiti Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore.
Obiettivi Fornire il linguaggio di base dell'algebra. Introduzione alle strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Elementi di teoria dei moduli.
Programma
Teoria degli insiemi [9 ore = 1 credito]
Insiemi. Relazioni tra insiemi. Applicazioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). [2]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipotenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [2]
Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Assioma della scelta. Reticoli. [2]
Aritmetica [9 ore = 1 credito]
Costruzione degli interi e dei razionali. Numeri primi. Divisione euclidea. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Strutture algebriche [27 ore = 3 crediti]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Polinomi. [3]
Zero-divisori, invertibili e nilpotenti. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [4]
Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Anelli euclidei. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Teoria dei moduli: basi, moduli finitamente generati e liberi. [4]
Decomposizione di un modulo su un anello euclideo. [3] Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. [3]
Spazi vettoriali su un campo K pensati come K[x]-moduli mediante un endomorfismo. [2]
Esami
Alla pagina Info Esami Algebra 1 si trovano tutte le informazioni sugli esami per l'anno accademico in corso e l'archivio dei testi di esame per quelli precedenti.
Curiosità Il quadrato del Sator è uno splendido "esercizio" di algebra. In effetti si tratta del seguente quadrato palindromo ma ci si potrebbe chiedere se la sua struttura possa essere meglio formalizzata.