Algebra 1 - anno accademico 2023/24

Informazioni
Attraverso il Portale Ariel alla pagina Algebra 1 si trovano tutte le informazioni ufficiali sul corso, con avvisi, risultati e svolgimento dei compiti scritti. Per il calendario dei prossimi esami nell'anno accademico corrente cliccare qui.
• Prerequisiti  Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.
• Obiettivi formativi  Il corso si propone di fornire una introduzione alla matematica e quindi alle sue costruzioni fondamentali: i numeri. Nel corso si affronta la costruzione dei numeri naturali mediante il concetto di insieme; gli insiemi vengono dunque accuratamente introdotti nella prima parte del corso. Si sviluppa inoltre il concetto di struttura algebrica mediante il quale si caratterizzano varie costruzioni di insiemi numerici quali, ad esempio, quella dei numeri interi e quella dei razionali. Si trattano inoltre alcune proprietà aritmetiche dei numeri interi mettendo poi in rilievo la parentela con proprietà algebriche di strutture ad essi collegate.
• Capacità acquisite  Acquisizione del linguaggio di base dell'algebra. Conoscenza delle principali strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Tra i risultati specifici che vengono illustrati nel corso ci sono proprietà aritmetiche notevoli dei numeri primi che si deducono da proprietà algebriche degli interi di Gauss. Infine, si acquisiscono i tratti essenziali della teoria dei moduli.


Programma 

Nella seguente suddivisione sono indicate (approssimativamente) le ore per ciascun argomento.

• Insiemi e Numeri
  
• Insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3]
• Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
• Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
• Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
• Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
• Aritmetica
  
• Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
• Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
• Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
• Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
• Strutture algebriche
  
• Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
• Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
• Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
• Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
• Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
• Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
• Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
• Basi e rango di un modulo. [2]


Testi 

Il libro del corso di Algebra 1 è il seguente:
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Una introduzione all'algebra Raffaello Cortina Editore, 2013
Addendum al libro che contiene una lista di errata corrige.



Altri Libri 

• M. Artin: Algebra, Bollati Boringhieri, 1997. Ultima edizione (in inglese): Algebra (2nd Edition) Addison Wesley, 2010
[il testo classico di algebra: utilizzato nel corso di Algebra di M. Artin all'MIT] 



Esami 

L'esame consiste in una prova scritta e un orale. La prova scritta - sia per le prove intermedie che per l'esame - è svolta su un foglio prestampato. Il testo è composto da alcune domande di carattere generale relative ai temi trattati nel corso e da alcuni esercizi. Il colloquio orale è svolto a discrezione del docente su alcuni argomenti tra tutti quelli trattati nelle lezioni e nelle esercitazioni.
• Regole per le prove scritte
• Per accedere agli esami è necessaria una prenotazione mediante il SIFA: per registrare il voto bisogna necessariamente essere iscritti all'Appello mediante il SIFA. Per iscriversi cliccare qui Inoltre, bisogna sempre presentarsi il giorno dell'esame con il badge o tessera universitaria o altro documento di riconoscimento valido.
• All'inizio della prova si deve scrivere Nome, Cognome e Matricola sui fogli distribuiti dal docente e tenere a disposizione, sul banco, il documento di riconoscimento. Non è consentito uscire per nessun motivo durante le prove scritte. Il ritiro dalla prova ovvero la consegna anticipata dei fogli in bianco sarà parimenti contato come tentata esecuzione della prova ma gli scritti non saranno valutati.
• Non è consentito consultare testi, dispense, appunti o note su fogli di carta per la compilazione dello scritto e comunque per l'intera prova. Non è consentito l'utilizzo di strumenti elettronici di calcolo, trasmissione dati o di video-telefoni portatili di qualsiasi genere.
• Non è consentito, agli esaminandi,  parlare o comunicare in qualunque modo pena l'esclusione dalla prova. Si possono chiedere eventuali delucidazioni sul testo di esame solo al docente, alzando la mano e restando al posto assegnato all'inizio della prova.
• Si dovranno riconsegnare solo i fogli prestampati distribuiti dal docente, compilati utilizzando gli appositi spazi: non saranno tenute in considerazione brutte o foglietti supplementari. Gli spazi sono adeguati alla lunghezza delle risposte, per chi abbia una grafia di grandezza media.
• Le risposte vanno giustificate brevemente, ma esaurientemente. Ad esempio, un'affermazione del tipo "ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi" va giustificata. Le soluzioni di un'equazione di secondo grado non vanno giustificate, ma la molteplicità di una radice si.
• La durata complessiva delle prove scritte sarà di 2 ore. Allo scadere del termine di tempo complessivo ci saranno tre minuti di tempo per la consegna. Non si accetta per nessun motivo il compito di chi consegna in ritardo, ovvero dopo i tre minuti.
• Gli scritti d'esame valutati con voto insufficiente saranno conservati anche in riferimento agli appelli successivi. In tutti i casi, per superare l'esame, occorre comunque sostenere un colloquio orale.
• Colloquio e discussione dell'elaborato scritto
Il docente sarà sempre a disposizione per chiarimenti e per una breve discussione dello scritto. L'orale è volto ad accertare il grado di approfondimento, comprensione e conoscenza degli argomenti trattati nel corso. Il voto dell'orale dipende dunque dalla padronanza delle materie trattate nel corso mostrata dallo studente durante il colloquio. Il voto finale sarà ottenuto dalla media tra il voto dell'ultimo scritto e quello del colloquio orale.