A partire da questo impianto, possiamo ora tornare sui nostri
passi per rendere conto dell’ultimo importante sviluppo che abbiamo annunciato
poco fa. In realtà avremmo dovuto forse riferire su di esso fin dall’inizio,
in rapporto all’introduzione della «scala armonica». Infatti, mentre
noi abbiamo illustrato il percorso che conduce ad essa passando attraverso la
partizione degli intervalli che abbiamo chiamato primitivi, sia nell’Introduzione,
sia nella Musicologia comparata sia infine nella
Semantica musicale
si presenta un modo di accesso essenzialmente differente che manifesta un clamoroso
ritorno alla «teoria dei rapporti semplici», forzando al massimo il
legame con le considerazioni aritmetico-numerologiche nello spirito delle premesse
di ordine generale che abbiamo illustrato or ora. Ciò che si tenta di
fare è una derivazione dei gradi della scala armonica che è
in realtà riportabile ad un modello puramente calcolistico, anche se
Daniélou preferisce tenere questa circostanza alquanto nascosta, proponendo
una descrizione dei passi da compiere per giungere al risultato e questo
stesso risultato sotto la forma di una tabella descrittiva, piuttosto
che metterci senz’altro sott’occhio un algoritmo come sua origine. Come
abbiamo detto in precedenza, in questa nostra esposizione abbiamo seguito un
percorso tutto nostro nel tentativo di mettere ordine nella trattazione di Daniélou,
sostanzialmente priva di indicazioni metodiche ed in realtà niente affatto
perspicua. Attraverso questo nostro riordinamento forse si riescono a fare emergere
i fili conduttori interni così come elementi per una critica che non
si contenti - come spesso è accaduto - di attaccare aspetti vistosi,
ma di superficie, senza arrivare nemmeno a percepire il senso complessivo dell’operazione
compiuta.
Ci accingiamo così ad illustrare quella che potremmo chiamare
la seconda via di accesso alla scala universale dei suoni. Essa ha come scopo
di dare la massima evidenza al dominio dei tre numeri fondamentali - 2, 3, 5
- sull’intero mondo sonoro-musicale; e vi è forse modo migliore di raggiungere
questo scopo che quello di mostrare che dall’impiego di questi soli tre numeri
si può rendere conto di tutti gli intervalli della scala armonica?
«Rendere conto» non può qui che voler dire: mostrare che tutti
questi intervalli sono derivabili, nella loro esatta determinazione, a partire
da una formula che contiene unicamente questi tre numeri. Impresa apparentemente
disperata! Eppure...
L’idea che sta alla base di tutta la costruzione è quella
di un utilizzo, per così dire, accorto del ciclo delle quinte. Poiché
si tratta di tentare una vera e propria derivazione calcolistica della scala,
è naturale che si pensi ad un utilizzo del ciclo delle quinte, per via
dell’automatismo che lo caratterizza. Sappiamo tuttavia già che questo
utilizzo dà solo valori approssimativamente simili a quelli della scala
armonica. Tuttavia Daniélou nota che per i primi giri di quinte - e precisamente
per i primi quattro - si ottengono rapporti sostanzialmente coincidenti con
i rapporti «armonici» [38]. Si
tratta allora di realizzare dei segmenti di cicli delle quinte,
ciascuno
che prenda le mosse da un inizio differente, ottenendo così delle
«serie» di intervalli. Ogni serie sarà costituita mediante
quattro quinte ascendenti e quattro quinte discendenti, ciascuna ridotta entro
l’ottava, e consterà quindi di otto intervalli. Gli elementi della serie
saranno di conseguenza nove. Sola eccezione è rappresentata dalla cosiddetta
Serie di base in rapporto alla quale Daniélou ritiene di dover
utilizzare cinque cicli di quinte sia in direzione ascendente che discendente.
Si otterranno dunque undici elementi. Precisamente Daniélou propone di
generare sette serie, che verranno poi combinate insieme riordinando gli elementi
in ordine crescente. Il risultato finale sarà una successione di intervalli
sovrabbondante rispetto ai 53 intervalli della scala armonica. Questa lista
andrà dunque depurata dagli intervalli eccedenti - mentre il punto
essenziale è che essa contiene tutti i 53 intervalli, e questa volta
secondo rapporti esatti.
Per scendere appena in qualche dettaglio necessario per comprendere
meglio la procedura adottata: anzitutto produrremo una serie che chiameremo
serie di base con inizio nella «tonica» - cioè nella
nota di base. Poiché si tratta di determinare una scala
relativa
di intervalli, possiamo dare valore 1 a questo inizio ed assumerlo come do.
Si otterrà la serie di base realizzando, come abbiamo detto or ora, cinque
cicli di quinte sia nella direzione discendente che in quella ascendente [39]
.
Si scelgono poi due nuovi rapporti come
inizi e precisamente
il rapporto di 6/5 (terza minore, 316 cents) e di 5/3 (sesta maggiore, 884 cents).
La ragione di questa scelta, spiega Daniélou, è che si tratta
dei rapporti più semplici in cui il numero cinque appare al denominatore
ed al numeratore. Così sia. Ciascuno di questi due numeri può
essere elevato alla seconda ed alla terza potenza generando ciascuno due nuovi
rapporti, ciascuno dei quali verrà considerato come primo elemento da
cui dare origine ad una nuova serie. Di conseguenza abbiamo
tre serie
che hanno alla loro base l’intervallo 6/5 (e che vengono chiamate da Daniélou
Serie +, Serie ++, Serie +++ ) i cui inizi saranno rispettivamente 6/5, 36/25
e 216/125) e tre serie che hanno alla loro base l’intervallo 5/3 (e che
vengono chiamate da Daniélou Serie -, Serie - - , Serie - - - ), i cui
inizi saranno rispettivamente 5/3, 25/9 e 125/27, questi due ultimi riportati,
nella riduzione entro l’ottava, a 25/18 e 125/108. Ciascuna serie verrà
generata nello stesso modo descritto sopra per la serie di base, ma con solo
quattro cicli di quinte. Non sorprenderà, date le considerazioni precedenti
sul rapporto tra numeri ed espressività, che a parere di Daniélou,
«tutte le note di una serie corrispondono ad uno stesso genere di espressione,
mentre ciascuna delle serie corrispondenti a tipi di espressione differenti.
Queste serie possono dunque essere chiamate ’categorie d’espressione’ (shruti-jati-s)»
[40]. Questa affermazione è interessante,
non tanto per l’allusione al concetto indiano di una connotazione affettivo-emotiva
delle strutture scalari, che è troppo generico per avere particolare
significato, quanto per il fatto che essa mostra che queste sette serie sono,
nelle intenzioni di Daniélou, qualcosa di simile a dei «modi».
È possibile che la dizione di «scala modale» per la scala universale
dei suoni derivi proprio da questo spunto - cioè dal fatto che essa poggerebbe
su sette sequenze assimilabili a modi.
In questo grafico sono riportate le sette serie, considerando
quattro cicli di quinte. I valori sono ridotti entro l’ottava e riordinati scalarmente.
Daniélou intende tuttavia acquisire nella scala il rapporto 243/128 e
il rapporto 256/243 (limma pitagorico), pur ritenendolo equivalente a 135/128,
ed entrambi si possono ottenere solo con un quinto ciclo di quinte sulla serie
di base che presenta dunque due valori in più. Le caselle barrate contengono
i valori non considerati da Daniélou perché ritenuti non utilizzati
nella pratica musicale: debbono perciò essere «spuntati» [41].
Per pervenire alla scala universale, si tratterà soltanto di associare
in una unica lista tutti i valori dei rapporti ottenuti nelle sette serie riordinandoli
in ordine di grandezza.
Scala universale generata mediante le sette serie
1, 81/80, 128/125, 25/24, 256/243, 16/15, 27/25, 800/729, 10/9,
9/8, 256/225, 144/125, 75/64, 32/27, 6/5, 243/200, 100/81, 5/4, 81/64, 32/25,
125/96, 320/243, 4/3, 27/20, 512/375, 25/18, 45/32, 64/45, 36/25, 375/256, 40/27,
3/2, 243/160, 192/125, 25/16, 128/81, 8/5, 81/50, 400/243, 5/3, 27/16, 128/75,
125/72, 225/128, 16/9, 9/5, 729/400, 50/27, 15/8, 243/128, 48/25, 125/64, 160/81
Conversione in Cents della scala universale
[42]
0, 22, 41, 71, 90, 112, 133, 161, 182, 204, 223, 245, 275, 294,
316, 337, 365, 386, 408, 427, 457, 477, 498, 520, 539, 569, 590, 610, 631, 661,
680, 702, 723, 743, 773, 792, 814, 835, 863, 884, 906, 925, 955, 977, 996, 1018,
1039, 1067, 1088, 1110, 1129, 1159, 1179
Se si confronta questo risultato con quello ottenuto attraverso
il metodo di partizione degli intervalli primitivi
Partizione ottenuta con la partizione degli intervalli primitivi
0,22, 41, 70, 90, 112, 134, 161, 182, 204, 226, 245, 274, 294,
316, 338, 365, 386, 408, 427, 456, 476, 498, 520, 539, 568, 588, 610, 632, 659,
680, 702, 724, 743, 772, 792, 814, 836, 863, 884, 906, 925, 954, 974, 996, 1018,
1045, 1066, 1088, 1110, 1129, 1158, 1178
si noterà che essi sono sostanzialmente equivalenti, essendo
dovute le piccole discrepanze al diverso modo di approccio ed alle approssimazioni
inevitabili della misura in cents. Unica eccezione il quarantesettesimo grado
che presenta 1045 cents contro 1039. In effetti si tratta di due scelte egualmente
possibili dal punto di vista calcolistico, dal momento che il primo intervallo
corrisponde a 4000/2187 (ed appartiene alla Serie - - -) mentre il secondo corrisponde
a 729/400 (ed appartiene alla serie + +).
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